. : New eShop! - Mobilní verze - Pandatron.cz - Pandatron.sk - Diskuzní fórum - Zakázkový vývoj : .
 
Energeticky optimální nabíjení kapacitoru
3. srpna 2015 - 3:33 | Zdeněk Biolek | Energeticky optimální nabíjení kapacitoru | Komentářů: 2  

Energeticky optimální nabíjení kapacitoru

Příspěvek se zabývá problematikou účinnosti transportu energie ze zdroje napětí do zásobníku energie. Může být aktuální pro učitele středních odborných škol, kteří si připravují materiál pro výuku spínaných zdrojů a dalších příbuzných pasáží elektroniky. Ke studiu jevu se využívá prostředků (téměř) středoškolské matematiky a počítačových simulací elektrických obvodů.

Úsilí o dosažení co nejvyšší účinnosti při zpracování energie získávané z primárních zdrojů nás vede k hlubšímu studiu energetické stránky jevů probíhajících v elektrických obvodech. Velmi zajímavou etapou při zpracování energie, při které může dojít k velkým ztrátám, je proces přelévání energie ze zdroje do zásobníku (viz obr. 1).


Obr. 1: Transport energie ze zdroje do zásobníku

Obr. 2 představuje uspořádání bateriového napájení některých nízkoodběrových zařízení pracujících v impulzním režimu. Zařízení (není na obrázku) pokrývá svoji občasnou proudovou spotřebu z energetického zásobníku, který je tvořen kapacitorem. Ten se trvale dobíjí přes rezistor z vnějšího zdroje. Výhodou tohoto uspořádání je, že zařízení může v nárazech odebírat ze zásobníku větší proud, než jaký by byl schopen dodat samotný zdroj.


Obr. 2: Transport energie přes rezistor

Někdy je výhodné zvolit velkou hodnotu nabíjecího odporu, zvláště v případě, kdy zdroj je schopen dodat jen velmi malý proud nebo tehdy, kdy je taková šetrnost vůči zdroji energie namístě. Doba nabíjení se sice prodlouží, ale pokud se zásobník energie stačí naplnit ještě před dalším požadavkem na proudový odběr, bude vše v pořádku. Za takových okolností lze snadno sklouznout k domněnce, že čím nižší hodnotu nabíjecího proudu zvolíme, tím úspornější bude provoz a tím nižší budou také energetické ztráty. Z dalšího rozboru bude patrné, že tomu tak není. Ukážeme si také, že pro účinnost procesu přelévání energie ze zdroje do zásobníku platí velmi zajímavé zákonitosti.

Nabíjení přes rezistor
Lze dokázat, že během samovolného přelévání energie z napěťového zdroje do kapacitoru přes rezistor se dostane do zásobníku pouze polovina dodané energie, druhá polovina se vždy přemění na teplo. To platí nezávisle na parametrech obvodu, tj. bez ohledu na velikosti hodnot odporu, kapacity a napětí zdroje.

V ustáleném stavu naměříme na kapacitoru C1 napětí U2=9V a energie v něm uskladněná bude

(1)

Ze zdroje se přitom odebere energie

(2)

Vzhledem k tomu, že v ustáleném stavu platí U2=U1, je to přesný dvojnásobek toho, co se uskladní v kapacitoru, tj.

(3)

Výsledky počítačové simulace pro hodnoty součástek R1=1kΩ a C1=100nF pomocí programu Micro-Cap 9 dokládá obr. 3.


Obr. 3: Simulace energetických poměrů při nabíjení kapacitoru

Závěr je zřejmý: změna velikosti nabíjecího proudu nevede ke změně účinnosti nabíjecího procesu, ta je za každých okolností 50%.
Důsledky této zákonitosti nejsou v žádném případě triviální. Ve všech případech, kdy se napájení realizuje dvoufázově, tj. přečerpáváním náboje do kapacitoru a jeho následným vybitím přes spotřebič, dochází ve fázi čerpání k 50%ním ztrátám energie.

Nabíjení přes impedanci
V reálných případech působí v napájecích soustavách parazitní vlivy, které jsme schopni modelovat pomocí přídavných indukčností a kapacit. Každý vodič vykazuje takové parazitní vlastnosti. Uvažujme tedy situaci, kdy se energie samovolně přelévá ze zdroje do kapacitoru již ne přes rezistor, ale přes kmitočtově závislou impedanci Z, jak je znázorněno na obr. 4.


Obr. 4: Transport energie přes impedanci

Vyjdeme z následujících předpokladů:

a) stejnosměrný napěťový zdroj dává konstantní napětí o velikosti U1,
b) nabíjecí prvek je lineární stacionární jednobran s frekvenčně závislou impedancí Z,
c) napětí na kapacitoru se ustálí na hodnotě

Otázka zní: Bude i tentokrát účinnost samovolného nabití kapacitoru 50%?

Nejprve odvodíme, jaký charakter impedance Z je potřebný pro splnění předpokladu c). Pro Laplaceův obraz výstupního napětí musí platit

 

Kvůli splnění podmínky c) požadujeme, aby

(4)

kde

(5a)

Využijeme-li teorému o konečné hodnotě signálu, lze vztah (5a) přepsat do podoby

(5b)

kde ζ (t) je impulzní funkce pro impedanci Z, tj. časový průběh napětí na impedanci Z jako odezva na proudový Diracův impulz. Podle (4) tedy musí platit, že tato odezva s časem zanikne, tj.

(6)

Analýzou vztahů 5a a 5b lze dospět k následujícímu závěru:

Při nabíjení kapacitoru ze zdroje konstantního napětí přes impedanci Z se kapacitor nabije na stejné napětí jako je napětí zdroje, pokud má impedance Z(p) všechny své případné póly v levé komplexní polorovině.

Nyní odvodíme vztah pro celkovou energii, kterou musí zdroj dodat pro úplné nabití kapacitoru. Laplaceův obraz výkonu dodávaného zdrojem bude

a energie

takže energie dodaná zdrojem pro úplné nabití kapacitoru bude

ε je dáno vztahy (5a) a (5b). S uvážením podmínky (6) vychází opět

Vzhledem k (1) to znamená, že platí následující závěr:

Při samovolném nabití kapacitoru ze zdroje konstantního napětí přes impedanci Z(p), která má všechny své případné póly v levé komplexní polorovině, se do kapacitoru dostane právě polovina energie dodané zdrojem napětí.

Nabíjení přes nelineární RL člen
K největším ztrátám energie při nabíjení přes rezistor dochází v počátku nabíjecího procesu, kdy jsou hodnoty proudu a tedy i výkonu na rezistoru nejvyšší. Zvolíme-li induktivní charakter nabíjecí impedance, zpomalíme počáteční náběh nabíjecího proudu a energie se bude na rezistoru spalovat také pomaleji. Jelikož však nabíjecí impedance nemá žádné póly, platí i pro tento případ závěr, že do kapacitoru se nakonec dostane opět jen 50% z celkové energie dodané zdrojem.


Obr. 5: Transport energie přes RL člen

Vyzkoušejme, zda tento závěr platí i v případě nelineární indukčnosti. Pro účely počítačové simulace byl vybrán model cívky vyrobené pomocí 10 závitů drátu navinutého na nelineárním magnetickém jádru (výsledný činitel vazby je 1,0). Hodnoty dalších součástek byly zvoleny takto: R1=10Ω, C1=100nF. Z obr. 6 je patrné, že napětí na kapacitoru má charakter tlumených kmitů, které se ustálí na hodnotě napětí zdroje, tj. 9V.


Obr. 6: Simulace transportu energie přes RL člen

Tlumení obstarává nejen rezistor R1, ale také ztráty vznikající v jádru cívky. Grafy ukazují, že z celkového množství energie 8,1µJ dodané zdrojem se dostane do kapacitoru opět pouze polovina, tj. 4,05µJ.
Vzájemná závislost okamžitých hodnot indukce a intenzity magnetického pole cívky je vymezena hysterezní křivkou materiálu jádra, jak je zřejmé z obr. 7.


Obr. 7: Hysterezní křivka materiálu jádra cívky

Opět se potvrdilo, že samovolné nabití kapacitoru ze zdroje konstantního napětí se uskuteční s účinností 50%. Podle obr. 6 je však patrné, že v průběhu nabíjení existují okamžiky, kdy v kapacitoru je značné množství energie při minimálních aktuálních ztrátách na rezistoru a v jádře cívky. Detail prvního překmitu ukazuje obr. 8.


Obr. 8: Detail maxima při přenosu energie

Až do dosažení prvního maxima výstupního napětí zdroj dodal energii 15,16µJ a z toho se do kapacitoru dostalo plných 14,19µJ. Kdyby se v tomto okamžiku podařilo nabíjení zastavit, účinnost nabití by byla přibližně 93%.

Řízené nabíjení přes nelineární RL člen
Takto řízené nabíjení lze realizovat jednoduše pomocí vhodně polarizované diody, která zabrání vybíjení kapacitoru zpět do zdroje. Možné řešení ukazuje obr. 9.


Obr. 9: Řízené nabíjení kapacitoru

Výsledky simulace na obr. 10 ukazují poněkud nižší účinnost, než činil předchozí odhad. Příčinou jsou ztráty způsobené činností diody, která odebrala teplo ED(D1) = 0,887µJ, což je více než ztráta na rezistoru ED(R1) = 0,369µJ. V materiálu jádra cívky se ztratilo ES(L1) = 0,526µJ. Zdroj dodal celkem 14,16µJ a do kapacitoru se dostalo 12,38µJ, tj. účinnost vychází na 87,4%.


Obr. 10: Energetické poměry při řízeném nabíjení kapacitoru

Optimalizace nabíjení přes nelineární RL člen
Vraťme se k časovému průběhu samovolného nabití kapacitoru přes RL člen podle obr. 6. Optimální okamžik pro ukončení nabíjení je dán výskytem prvního lokálního maxima výstupního napětí. Čím větší je toto maximum, tím vyšší bude také účinnost nabití kapacitoru.


Obr. 11: Vliv kapacity nabíjeného kondenzátoru na „výšku“ překmitu napětí

Dá se dokázat, že „výška“ prvního překmitu signálu produkovaného lineárním RLC obvodem vykazuje jako funkce vzhledem k rezonanční frekvenci obvodu lokální maximum. Pokud by stejná zákonitost platila i v případě mírně nelineární indukčnosti, kterou jsme použili v nabíjecím článku, znamenalo by to, že pomocí RL členu lze nabíjecí obvod vyladit na optimální účinnost.

V původním zapojení podle obr. 5 ponechejme hodnotu odporu R1 na velikosti 10 ohm. Nižší hodnota sice znamená vyšší účinnost, avšak ve skutečném zapojení nejsme schopni jít pod určitou reálnou mez. Cívku ponecháme také beze změny a budeme měnit kapacitu C1 v rozmezí od 30nF do 200nF. Vliv těchto změn na „výšku“ prvního překmitu napětí ukazuje obr. 11. Je zřejmé, že při určité hodnotě C1 je překmit skutečně nejvyšší.


Obr. 12: Vliv kapacity nabíjeného kondenzátoru na účinnost nabití

Z obr. 12 je zřejmé, že při C1=87nF dojde k vyladění účinnosti nabíjecího obvodu na optimální hodnotu 93,7%.

Závěr
Příspěvek ukazuje, jakým způsobem lze využít počítačových simulačních programů ke studiu jevů probíhajících v elektrických obvodech. Všechny uvedené simulace (kromě analýzy uvedené na obr. 12) lze provést pomocí evaluační verze programu Micro-Cap 9, která je zdarma k dispozici na Internetu [1].
Možnosti simulátoru elektrických obvodů Micro-Cap jsou detailně vysvětleny v knize [2].

Literatura:
[1] http://www.spectrum-soft.com, domovská stránka firmy SPECTRUM SOFTWARE, výrobce programu Micro-Cap 9.
[2] Biolek, D.: Řešíme elektronické obvody aneb kniha o jejich analýze. BEN technická literatura, 2004, 520 s.

Autor:
Zdeněk Biolek - SŠIEŘ Rožnov pod Radhoštěm

Odkazy & Download:
SŠIEŘ - Rožnov pod Radhoštěm
ENERGETICKY OPTIMÁLNÍ NABÍJENÍ KAPACITORU







GooglePlus1 FaceBook Twitter del.icio.us DiGG Google StumbleUpon Google Buzz Email RSS PDF Tisk

Komentáře (2):

Zobrazit starší 30 dnů (2)...



Název příspěvku: Vaše jméno: host
                 
  Zakázat formátování [Zakáže kódování a nahrazování smajlíky.]
Připojit soubory
reklama:
Anténa 2J020 - 900/1800/2400MHz
Anténa 900/1800/2400MHz, přímá s konektorem SMA.
Skladem od 83 Kč

Informace uvedené v článcích jsou platné v době jejich vydání a samotné články jsou určeny pouze jako zdroj informací. Autor článku ani správce webu nenesou žádnou zodpovědnost za případné újmy na majetku a zdraví. Názvy společností a výrobků, loga a další multimediální materiál mohou být ochrannými známkami příslušných společností.
RSS kanály: | |
+420 723 846 377
info@pandatron.cz
Všechna práva vyhrazena | mobilní verze | © Copyright 2000 - 2016 ISSN 1803-6007